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Notes sur le chaos
Voici une petite page consacrée au chaos. Rien de ce qui suit n’est juste, exact ou raisonnable : vous voici prévenu, cette page est a usage personnel (tout comme son orthographe).
On définit les systèmes dynamiques comme des systèmes déterministes dont l’état évolue au cours du temps. On caractérise leur comportement au travers de leur réponse à des sollicitations (ex: réponse impulsive). On utilise des diagrammes (de Black par exemple) pour représenter les réponses.
Un système linéaire est un système qui peut être entièrement déterminé par l’étude d’un base de sollicitations. Sachant une sollicitation quelconque, l’état futur d’un système linéaire est la somme pondérée des réponses normales de ce système.
Les systèmes non-linéaire n’ont pas cette propriété. L’étude des réponses impultionnelles ne suffit pas pour prédire le comportement du système. La fameuse fonction logistique ‘x+1=rx(1-x)’ en est un exemple. Pour r compris entre 3 et 4 la suite (x) pourra converger, osciller entre 3 valeurs ou avoir un comportement chaotique.
Le réductionnisme est une méthode qui vise à étudier les éléments d’un ensemble de façon isolé pour ensuite essayer de comprendre le comportement d’un ensemble de ses éléments.
Il est évident que tant que les éléments au sein du système ne sont pas intéractions le systèmes est linéaire. Par exemple la masse d’un sac est égale à la somme des masses des objets contenus. Il est donc tout à fait justifier d’employer une méthode réductionniste pour déterminer les poids des choses.
Cependant, dans le cas ou les éléments sont en intéraction dans l’ensemble; les propriétés des éléments sont elle-même susceptibles d’évoluer. Le systèmes n’est donc pas nécessairement linéaire.
L’état du système peu alors :
soit se maintenir dans un sous-ensemble d’états.
soit diverger vers un bruit blanc
De façon toute à fais personnel, je ne crois pas qu’il existe de systèmes isolé capable de bruit blanc (j’aime à croire que l’entropie est une forme d’énergie).
On distingue donc les cas suivants:
le système converge vers une valeur
le système converge vers un infini
le système converge vers un cycle
le système converge vers un pseudo-cycle
le système se maintient dans un sous-ensemble d’états sans laisser paraitre de cycle
le système tends au bruit
a relire
Les systemes chaotique sont des systèmes dynamique: systeme non continue selon les condition initiales, dont l’espace des phase est bornee. Outils : Espace des phases + Diagramme de bifurcation.
Idee : Regarder un desert comme l’instance d’un phénomene chaotique : Dans le desert le sable n’es t pas dispose n’importe comment, il forme des dunes (expression du systeme complexe) mais peu importe ou se trouve exactement chaque dune.
f(t,u) : deux dimmensionsd’ecoulement trouver quelle est le system complexe qui permettent de faire des deserts
2 types de systemes dynamique : les system a temps continu (complique a etudier) et le systeme a temps discret (eux plus simple a etudier)
- On modelise les systemes discrets par un equation recursive : exemple classique de la fonction logistique ##x+1 = k * x * ( 1 - x )## avec k qui varie entre 0 et 4. - On modelise les systemes continu avec des equations differentielle : ##dx/dt = k * x * ( 1 - x ) ## Les systemes a temps discret sont plus simple a resoudre et a simuler...
On recherche maintenant un systeme dont la dynamique evolue selon deux (ou 3!) parametres pour permetre l’habillage d’une sphere a travers le system d’equation : ## z = altitude(x,y)##. Cette fonction de calcule de l’altitude doit etre doublement cyclique et posseder une certaine propriete : Elle doit accepter un paramettre qui fqit office de condition initiale.
Si on compare avec un systeme complexe classique, peu importe ses conditions initiales, le systeme est stable. c’est a dire qu’il converge et possede un comportement globale propre. Dans notre cas, on souhaite que le parametre symbolise l’unicite du phenomene (son caractere unique, particulier), mais que globalement on puisse reconnaitre la forme representee (ex : un desert).
Donc comment faire concretement? L’idee est qu’a partir d’un systeme complexe (ici chaotique), on l’initialise au hazard puis qu’on itere jusqu’a stabilite (on se trouve a present dans l’atracteur). Une fois dans cet zone definie, on utilise ce systeme parametre pour generer un objet du type desire.
En autre termes : Objectif : Obtenir ##f : x * y -> z## une fonction cyclique unique qui represente le desert particulier que l’on souhaite. Moyen : Considere la fonction ##f## comme un etat d’un systeme chaotique. On peut appeller //generatrice// ce systeme choatique dont les etats representes les //models mathematiques// des terrains. Formalisme : Soit E l’espace des representations des terrains, c’est a dire l’ensemble des applications de ##[0...1]*[0..1]->[0..1]##. Au passage, on suppose qu’on ne modelise que des carre de cote 1 dont l’altitude max est 1 : Evidement on pourra mettre a l’echelle necessaire. Dans cet espace, le systeme dynamique (chaotique) est une application de ##G : E , [0..1] -> E## parametrable. Ainsi,
Emergence dans les systèmes complexes vue comme un saut sémantique.
L’émergence = apparition ’concrète’ ou visible pour un expert de nouvelles propriétés inreductibles à l’étude des interactions entre les sous composants idée de base: confondre les métriques qualifiantes (changement d’espace des phases). principe: interraction d’atomes => espace des phases qui abrite un phénomêne (la somme des interractions) => étude élémentaire des interractions (prévisible) => étude macrocopique comme phenomêne choatique => prejection/réduction de l’espace => nouveau phénomène au propriétés mesurables dans ce nouvelles espace. remarque: plus le nombre d’atome est grand, plus espace de projection est petit (il converge vers une limite qui est propre au passage à l’échelle.
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..........................Passage_à_l’échelle............................
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|’..............—............./...\...........................—........
|.\.........../....\........./......\............—........../.....\.....
|..’ -....-’........’-....-’.........’-.......-’....’-.....-’........’-..
+------------|-------------|-------------|----------|------------------->
.............................log_(nb_d’atomes)...........................
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Emergence: apparition de caratéristique macroscopique non-identifiables à l’échelle atomique. Contestation: le mise à l’échelle valorise d’autres espace de mesure et d’autres découpage des caratéristiques. Un gateau peut-être qualifier de ’onctueux’, ’fondant’ ou encore fade. Seulement on ne qualifie jamais ses ingrédients des mêmes adjectifs, tout simplement par ce qu’il ne les possèdent pas dans des proportions avantageuses. Par exemple, qui dira d’un kilo de farine qu’il est trop sablé? Cette propriété n’a pas de sens lorsque l’on parle de la farine. Il faut oppérer un changement d’espace pour mesurer l’émergence d’un ensemble. Les atomes ont un espace des phase. L’emergence apperçue resulte des interactionentre les atomes, or cet interraction se modélise dans un espace qui correspond grosso-modo) au produit cartesien des espaces des phases des atomes. Le système complexe est alors caractérisé dans un espace de dimension gigantesque: il s’agit de la vue extrinseque du phénomène.. L’émergence caractérise l’apparition de nouvelles propriétés, et donc d’un nouvel espace de représentation — il s’agit de l’espace "adapté" au phénomène complexe. Cet espace est accessible via la théorie du chaos. En effet le système complexe peut être étudier comme un phénomêne chaotique. Déterminer l’espace de projection de se phénomène permet d’en faire apparaitre tout la simplicité. C’est de ce "saut" d’espaces que sont propriétés d’émergentes. Cette projection NON linéaire (si elle l’était il n’y aurait pas d’émergeantce car les propriétés seraient prévisibles) représente la "cuisson" du gateau. Dans notre nouvelle espace, l’espace du gâteau ses propriétés sont évidentes. Toutes les propriétés dont la composition est non-linéaire (ex chimique: eau + sucre = h2o + h12c6o2 = h14 + c6 + o3 => ... un phénomène dont l’étude peut être raporté à une espace plus réduit) engendre nécessairement l’emergence de nouvelles propriété. Il n’y a rien de magique, c’est même automatique.
Démarche: Il me semble possible de déterminer le fonctionnement d’un milliard d’atome, en exprimant clairement ce qui est recherché. La métaphore du gateau à ceci de juste qu’elle n’oublie pas l’opération magique de cuisson. En effet, tout les opérateurs ne sont pas commutatifs, et toutes les composition ne sont pas additives. Réciproquement, obtenir une propriété particulière (aspérité par exemple) peut se rechercher simplement introuisant le bon ratio d’atomes. \’Evidement l’aspérité d’une surface dépend autant des propriétés de l’eau autant que du milieu. Trop ou trop peu dense, en le milieu perd son aspérité. Est-ce là de l’émergence? On parle souvent d’auto-organisation en qualifiant l’emergence, mais que viens faire le préfixe "auto-" dans la discution? Le fait d’additionner des atomes nous fait croire en la construction d’une autre chose, un tout bien distinct, qui possèderai ses propres lois et son fonctionnement. "Le tout est plus que la somme des parties", qui ça? -Le tout! -le tout quoi? Il y a déja ce glissement sémantique qui nous fait croire en l’existance des choses. L’idée de réalité n’est pas scientifique comme disait-il, c’est bien qu’il ne peut y avoir d’interprétation des choses du mondes. On ne dit pas que le monde est vide, ou qu’il n’existe pas; seulement que les phénomènes que l’on observe ne sont rien d’autres que des manifestations d’abstraction de base comme l’énergie, l’espace et le temps.
Il est donc nécéssaire de travailler avec les hypothèses les plus reduites et les plus simples possible. N’est-ce pas là de l’emergence que de voir un groupe mathématique se transformer en anneau. L’emergence ne fait que mettre en lumière l’absence de connaissance et de particularisme. Ainsi il est beaucoup de propriétés des anneau que je ne peut exprimmer chez un groupe, et pourtant, l’anneau est aussi un groupe.
